Сурьянинов Н.Г.

Одесский национальный политехнический университет, Украина

Функция Грина в задаче о кручении тонкостенных стержней открытого профиля

Решение задач механики деформируемого твердого тела сводится, как правило, к одному или нескольким дифференциальным уравнениям. Получить решение в замкнутом виде удается далеко не всегда, поэтому используются численные методы расчета.

Одним из быстро развивающихся в последние годы является метод граничных элементов (МГЭ), применение которого во многих случаях более эффективно, чем применение метода конечных элементов (МГЭ). С помощью МГЭ получены решения целого ряда задач, однако многие вопросы остаются пока нерешенными.

В работе исследуется одна из важнейших и актуальных проблем, возникающих при использовании МГЭ для решения задачи о стесненном кручении тонкостенного стержня открытого поперечного сечения — построение функции Грина.

В практических расчетах чаще всего встречается случай, когда продольные края стержня свободны от сдвигающих сил, а внешняя нагрузка представлена только погонными поперечными силами и моментом Соответствующие дифференциальные уравнения равновесия получены в [1] и имеют вид

(1)

Первое из уравнений (1) определяет продольные перемещения от продольной силы, приложенной по концам стержня и распределенной по сечению равномерно. Второе и третье уравнения относятся к поперечному изгибу и определяют перемещения той точки К поперечного сечения, относительно которой секториальная площадь ортогональна к функциям Четвертое уравнение соответствует кручению стержня под действием поперечной нагрузки, которая относительно точки К дает внешний погонный крутящий момент

При выполнении условий ортогональности и в отсутствие продольных сжимающих или растягивающих внешних нагрузок, что чаще всего имеет место, из четырех уравнений (1) останутся только три:

(2)

где

Рассмотрим последнее из уравнений (2), определяющее стесненное кручение стержня под действием некоторой поперечной нагрузки, дающей внешний погонный крутящий момент

Представим решение этого уравнения в виде

(3)

где

(4)

Величины можно определить из системы алгебраических уравнений:

(5)

Решаем систему (5) методом Гаусса. Умножим первое уравнение на , второе — на и вычтем из первого уравнения второе; затем умножим первое на , третье — на и вычтем из первого третье и, наконец, умножим первое на , четвертое — на и вычтем из первого четвертое:

(6)

Производные функций (4), определяющие вид коэффициентов этой системы:

Таким образом, (6) принимает вид

Обратный ход метода Гаусса позволяет определить все константы:

(7)

Функция Грина принимает форму:

(8)

Легко убедиться, что функция (8) обладает всеми свойствами, характерными для функции Грина.

1. при

2. , как функция от при фиксированном в , за исключением точки , удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению.

3. и ее производные по до -го порядка включительно непрерывны для за исключением точки , в которой производные по непрерывны лишь до порядка, а производная имеет разрыв 1-го рода со скачком

4. При

.

5. для уравнений с постоянными коэффициентами зависит только от разности двух переменных

Литература:

1. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. — 568 с.

2. В.А. Баженов, А.Ф. Дащенко, Л.В. Коломиец, В.Ф. Оробей, Н.Г. Сурьянинов / Численные методы в механике. — Одесса, «СТАНДАРТЪ», 2005. — 563 с.